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已知函數(shù)f（x）=
px2+2
q-3x
是奇函數(shù)，且f（2）=-
5
3
．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求證：f（
1
x
）=f（x）；
（3）判斷函數(shù)f（x）在（0，1）上的單調性（不必證明）．
分析：（1）由f（x）=
px2+2
q-3x
是奇函數(shù)可得f（-x）=-f（x）恒成立，由此可求得q，由f（2）=-
5
3
，即
4p+2
-3×2
=-
5
3
可解得p；
（2）代入函數(shù)式驗證即可；
（3）利用導數(shù)可判斷函數(shù)f（x）在（0，1）上的單調性；
解答：解：（1）∵f（x）=
px2+2
q-3x
是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）恒成立，
即
px2+2
q+3x
=-
px2+2
q-3x
恒成立，
∴q+3x=3x-q恒成立，得q=0；
又f（2）=-
5
3
，
∴
4p+2
-3×2
=-
5
3
，
解得p=2，
∴f（x）=
2x2+2
-3x
；  
（2）由（1）得f（
1
x
）=
2(
1
x
)2+2
-3(
1
x
)
=
2+2x2
-3x
=f（x）；  
（3）f（x）=
2+2x2
-3x
=-
2x
3
-
2
3x
，
∵f′(x)=-
2
3
+
2
3x2
=
2
3
(
1
x2
-1)，且0＜x＜1，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上單調遞增．
點評：本題考查函數(shù)奇偶性的性質、單調性的判斷及解析式的求解，屬基礎題，定義是解決奇偶性問題的基本方法，要熟練掌握．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
23
x3-2ax2+3x（x∈R）．
（1）若a=1，點P為曲線y=f（x）上的一個動點，求以點P為切點的切線斜率取最小值時的切線方程；
（2）若函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上為單調增函數(shù)，試求滿足條件的最大整數(shù)a．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義：兩個連續(xù)函數(shù)（圖象不間斷）f（x）、g（x）在區(qū)間[a，b]上都有意義，則稱函數(shù)|f（x）+g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a，b]上的“絕對和”．已知函數(shù)f（x）=x3，g（x）=x3-3ax2+2．
（Ⅰ）若函數(shù)y=g（x）在點P（1，g（1））處的切線與直線y=x+2平行，求a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下求漢順f（x）與g（x）在區(qū)間[0，2]上的“絕對值”
（Ⅲ）記f（x）與g（x）在區(qū)間[0，2]上的“絕對和”為h(a)，a＞
32
，且h（a）=2，試求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+c（a，b，c∈R，a≠0）的圖象過點P（ 1，2），且在點P處的切線與直線x-3y=0垂直．
（1）若c∈[0，1），試求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若a＞0，b＞0且（-∞，m），（n，+∞）是f（x）的單調遞增區(qū)間，試求n-m-2c的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•河北模擬）已知函數(shù)f（x）=alnx-bx2的圖象上一點P（2，f（2））處的切線方程為y=-3x+2ln2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）設g（x）=f（x）-mx，m∈R，如果g（x）的圖象與x軸交于點A（x1，0），B（x2，0），（x1＜x2），AB中點為C（x0，0），求證：g′（x0）≠0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二階矩陣M=（
a1
0b
）有特征值λ1=2及對應的一個特征向量
e
1=
1
1
．
（Ⅰ）求矩陣M；
（II）若
a
=
2
1
，求M10
a
．
（2）已知直線l：
x=1+
1
2
t
y=
3
2
t
（t為參數(shù)），曲線C1：
x=cosθ
y=sinθ
  （θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）設l與C1相交于A，B兩點，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲線C1上各點的橫坐標壓縮為原來的
1
2
倍，縱坐標壓縮為原來的
3
2
倍，得到曲線C2C，設點P是曲線C2上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值．
（3）已知函數(shù)f（x）=log2（|x+1|+|x-2|-m）．
（Ⅰ）當m=5時，求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范圍．

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