Question

19．下列函數(shù)中：
（1）$y=|x|+\frac{1}{|x|}$（2）$y=\frac{{{x^2}+5}}{{\sqrt{{x^2}+4}}}$（3）$y=\sqrt{x}+\frac{4}{{\sqrt{x}}}-2$（4）$y=\frac{{{x^2}-2x+4}}{x}$（5）$y=sinx+\frac{1}{sinx}（0＜x＜\frac{π}{2}）$，其中最小值為2的函數(shù)是（1）（3） （填正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 由基本不等式求最值的“一正、二定、三相等”，逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證可得．

解答 解：（1）$y=|x|+\frac{1}{|x|}$≥2$\sqrt{|x|•\frac{1}{|x|}}$=2，當(dāng)且僅當(dāng)|x|=$\frac{1}{|x|}$即x=±1時(shí)取等號(hào)，故正確；
（2）$y=\frac{{{x^2}+5}}{{\sqrt{{x^2}+4}}}$=$\frac{{x}^{2}+4+1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$≥2，但當(dāng)$\sqrt{{x}^{2}+4}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$時(shí)，x不存在，故錯(cuò)誤；
（3）$y=\sqrt{x}+\frac{4}{{\sqrt{x}}}-2$≥2$\sqrt{\sqrt{x}•\frac{4}{\sqrt{x}}}$-2=2，當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{x}$=$\frac{4}{\sqrt{x}}$即x=4時(shí)取等號(hào)，故正確；
（4）$y=\frac{{{x^2}-2x+4}}{x}$的x正負(fù)不確定，當(dāng)x為負(fù)數(shù)時(shí)，得不出最小值為2，故錯(cuò)誤；
（5）$y=sinx+\frac{1}{sinx}（0＜x＜\frac{π}{2}）$，取等號(hào)的條件為sinx=$\frac{1}{sinx}$即sinx=1，而當(dāng)0＜x＜$\frac{π}{2}$時(shí)sinx取不到1，故錯(cuò)誤．
故答案為：（1）（3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．