Question

【題目】設

(1)求在[0,2]上的最值；

(2)如果對于任意的，都有成立,求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 最小值為，最大值為1 (2) [1，+∞）

【解析】

（1）利用函數(shù)的導數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由此求得函數(shù)的最值.（2）將原不等式恒成立轉化為來求解.由（1）求得的最大值為.將轉化為，構造函數(shù)，利用導數(shù)求得的最大值，由此求得的取值范圍.

(1)

由得，或；由得，，，

單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

，

在上的最小值為，最大值為1

(2)對于任意的s，t∈[，2]，都有f(s)≥f(t)成立，等價于在[，2]上，函數(shù)f(x)ming(x)max.

由（1）可知在[，2]上，g(x)的最大值為g(2)=1.

在[，2]上，f(x)=+xlnx≥1恒成立等價于a≥x-x2lnx恒成立.

設h(x)=x-x2lnx，h′(x)=1-2xlnx-x，可知h′(x)在[，2]上是減函數(shù)，又h′(1)=0，

所以當1＜x＜2時，h′(x)＜0，當＜x＜1時，h′(x)＞0，

即函數(shù)h(x)=x-x2lnx在[，1]上單調(diào)遞增，在[1，2]上單調(diào)遞減，

所以h(x)max=h(1)=1，即實數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）.