Question

1．已知函數(shù)f（x）是定義R⁺的減函數(shù)，有f（$\frac{1}{2}$）=1，對(duì)任意的x，y∈R^*，都有f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求f（1），f（2）的值；
（2）解不等式：f（2）+f（5-x）≥-2．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1，即可求得f（1）的值；再令x=$\frac{1}{2}$，y=2，利用f（1）的值，即可求得f（2）的值；
（2）由題意可得f（4）=-2，則原不等式可化為：f[2（5-x）]≥f（4），結(jié)合函數(shù)的定義域和單調(diào)性，可解不等式．

解答 解：（1）∵任意的x，y∈R^*，都有f（xy）=f（x）+f（y）．
令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），
解得f（1）=0；
又f（$\frac{1}{2}$）=1，令x=$\frac{1}{2}$，y=2，則f（1）=f（$\frac{1}{2}$）+f（2）=0，
∴f（2）=-1；
（2）∵函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，f（xy）=f（x）+f（y），
f（2）=-1，令x=y=2，則f（4）=2f（2）=-2，
f（2）+f（5-x）≥-2可化為：f[2（5-x）]≥f（4），
∴$\left\{\begin{array}{l}5-x＞0\\ 2（5-x）≤4\end{array}\right.$，
解得：x∈[3，5）．
∴原不等式的解集為：[3，5）

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查賦值法與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查解不等式組的能力，屬于中檔題．