Question

如圖所示，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動.

（1）點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）求證：無論點E在BC邊的何處，都有PE⊥AF；

（3）當BE為何值時，PA與平面PDE所成角的大小為45°.

Answer 1

(1) 當點E為BC的中點時，EF與平面PAC平行(2) 證明略（3）BE=-時，PA與平面PDE所成角為45°

解析:

（1）當點E為BC的中點時，EF與平面PAC平行.

∵在△PBC中，E、F分別為BC、PB的中點，∴EF∥PC.

又EF平面PAC，而PC平面PAC，

∴EF∥平面PAC.                                                                               4分

（2）以A為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系

則P（0，0，1），B（0，1，0），

F（0，，），D（，0，0）.

設(shè)BE=x，則E（x，1，0），

·=（x，1，-1）·（0，，）=0，

∴PE⊥AF.                                                                                                              10分

（3）  設(shè)平面PDE的法向量為m=(p,q,1),

由（2）知=（，0，-1），=（x，1，-1）

由，得m=.                                                                          12分

而=（0，0，1），依題意PA與平面PDE所成角為45°,

∴sin45°==，

∴=,                                                                                        14分

得BE=x=-或BE=x=+＞（舍去）.

故BE=-時，PA與平面PDE所成角為45°.                             16分