Question

（2013•綿陽二模）已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²-2sin²x
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ） A、B、C是△ABC的三內(nèi)角，其對應(yīng)的三邊分別為a、b、c．若f（

A

8

）=

6

2

，

AB

•

AC

=12，a=2

7

，且b＜c，求 b、c 的長．

Answer 1

分析：（I）將f（x）展開并運(yùn)用二倍角的三角函數(shù)公式和輔助角公式化簡整理，可得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），再利用正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的公式解關(guān)于x的不等式，即可得到f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（II）將

A

8

代入（I）中的關(guān)系式，解出A=

π

3

．根據(jù)

AB

•

AC

=12列式，可得bc=24，再根據(jù)余弦定理結(jié)合配方解出b+c=10，由此即可解出b、c的長．

解答：解：（Ⅰ）f （x）=sin²x+2sincosx+cos²x-2sin²x=-sin²x+cos²x+sin2x
=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

），
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），解得

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ（k∈Z），
∴f （x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]（k∈Z）．  …（6分）
（Ⅱ）f （

A

8

）=

2

sin（

A

4

+

π

4

）=

6

2

，即sin（

A

4

+

π

4

）=

3

2

，
∴

A

4

+

π

4

=

π

3

或

2π

3

，即A=

π

3

或

5π

3

（不符合題意，舍去）．
由

AB

•

AC

=c•b•cosA=12和cosA=

1

2

，得bc=24．①
∵a=2

7

，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∴將bc=24代入，化簡并解之可得b²+c²=52．
∵b²+c²+2bc=（b+c）²=100，b＞0，c＞0，
∴b+c=10，②
聯(lián)解①②，解之得b=4、c=6或b=6、c=4
∵b＜c，∴b=6、c=4不合題意，舍去
可得 b、c 的長分別為4，6．  …（12分）

點(diǎn)評：本題給出三角函數(shù)關(guān)系式，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間并解三角形ABC的b、c 的之長，著重考查了解三角形、三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．