Question

17．游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處至景點(diǎn)C處有兩條線路，線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點(diǎn)B處，然后從B沿直線步行道C，現(xiàn)有甲乙兩位游客從A處同時(shí)出發(fā)勻速步行，甲的速度是乙的速度的$\frac{11}{9}$倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時(shí)到達(dá)C處，經(jīng)測(cè)量，AB=1040m，BC=500m，則sin∠BAC等于（　�。�

• A． $\frac{5}{13}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $\frac{3}{8}$
• D． $\frac{7}{24}$

Answer 1

分析 通過設(shè)乙的速度為x（m/s），則甲的速度為$\frac{11}{9}$x（m/s），利用兩人達(dá)到的時(shí)間相等列出表達(dá)式、計(jì)算可知AC=1260m，進(jìn)而利用余弦定理及平方關(guān)系計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：依題意，設(shè)乙的速度為x（m/s），則甲的速度為$\frac{11}{9}$x（m/s），
∵AB=1040m，BC=500m，
∴$\frac{AC}{x}$=$\frac{1040+500}{\frac{11}{9}x}$，
解得：AC=1260m，
∴△ABC為銳角三角形，
由余弦定理可知cos∠BAC=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}$=$\frac{104{0}^{2}+126{0}^{2}-50{0}^{2}}{2×1040×1260}$=$\frac{84}{91}$，
∴sin∠BAC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠BAC}$=$\sqrt{1-（\frac{84}{91}）^{2}}$=$\frac{35}{91}$=$\frac{5}{13}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，涉及余弦定理、平方關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．