Question

2．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分別是棱A₁B₁、CC₁的點(diǎn)，且DC₁⊥A₁B₁，A₁D=$\frac{2}{3}$A₁B₁，CE=$\frac{1}{3}$CC₁，求證：
（1）直線DC₁∥平面A₁BE；
（2）平面A₁BE⊥平面A₁ABB₁．

Answer 1

分析 （1）過DH∥B₁B，交A₁B于F，利用線面平行的判定定理即可證明，直線DC₁∥平面A₁BE；
（2）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面A₁BE⊥平面A₁ABB₁．

解答 證明：（1）過DH∥B₁B，交A₁B于F，連結(jié)EF，
∵A₁D=$\frac{2}{3}$A₁B₁，
∴$\frac{DF}{{B}_{1}B}=\frac{{A}_{1}D}{{A}_{1}{B}_{1}}=\frac{2}{3}$，
∵CE=$\frac{1}{3}$CC₁，
∴C₁E=$\frac{2}{3}$CC₁，
即$\frac{DF}{B{B}_{1}}=\frac{{C}_{1}E}{C{C}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，
∴四邊形C₁EFD為平行四邊形，
∴C₁D∥EF，
∵C₁D?平面A₁BE，EF?平面A₁BE，
∴直線DC₁∥平面A₁BE；
（2）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，DC₁⊥A₁B₁
∴DC₁⊥平面A₁ABB₁，
∵C₁D∥EF，
∴EF⊥平面A₁ABB₁，
∵EF?平面A₁BE，
∴平面A₁BE⊥平面A₁ABB₁．

點(diǎn)評 本題主要考查空間線面平行和面面垂直的判定，利用相應(yīng)的判定定理是解決本題的關(guān)鍵．