Question

如圖一所示，邊長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為AB、DD₁的中點．
（Ⅰ）證明：EF∥平面BCD₁；
（Ⅱ）若G為B₁C₁的中點，證明：A₁G⊥EF；
（Ⅲ）如圖二所示為一幾何體的展開圖，沿著圖中虛線將它們折疊起來，所得幾何體的體積為V₁，若正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積為V₂，求的值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：取CD₁的中點H，連接FH，HB，
∵F、H分別是DD₁、CD₁的中點，
∴FH∥DC且FH=DC，
∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥DC且AB=DC，
又E為AB的中點，∴FH∥EB且FH=EB，
∴四邊形FHBE為平行四邊形，∴EF∥HB，
又∵HB?平面BCD₁，EF?平面BCD₁，
∴EF∥平面BCD₁；
（Ⅱ）證明：取BC中點I，連接GI，AI，
在正方形ABCD中，E，I分別為AB，BC的中點，
∴DE⊥AI，
∵DD₁⊥平面ABCD，AI?平面ABCD，
∴AI⊥DF，
又DF∩DE=D，
∴AI⊥平面DEF，又EF?平面DEF，
∴AI⊥EF
由四邊形A₁AIG為平行四邊形得A₁G∥AI，
∴A₁G⊥EF；
（Ⅲ）解：如圖二所示，該幾何體為有一條側棱垂直于底面且底面為正方形的四棱錐，即四棱錐的高為1，底面是邊長為1的正方形，
∴V_四棱錐==，
又=1，
∴=．
分析：（Ⅰ）取CD₁的中點H，連接FH，HB，證明EF∥HB，利用線面平行的判定，可得EF∥平面BCD₁；
（Ⅱ）取BC中點I，連接GI，AI，證明AI⊥EF由四邊形A₁AIG為平行四邊形得A₁G∥AI，即可得到結論；
（Ⅲ）分別計算體積，即可得到結論．
點評：本題考查線面平行，考查垂直，考查體積的計算，屬于中檔題．