Question

14．已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸正半軸上，且過(guò)點(diǎn)P（2，2），過(guò)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)l是拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，求證：以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)l相切．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線(xiàn)方程為：y²=2px，代入點(diǎn)P（2，2），即可求拋物線(xiàn)的方程；
（2）從A和B分別作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)AM，BN，垂足M、N，取AB中點(diǎn)Q，作QH⊥準(zhǔn)線(xiàn) l，H為垂足，結(jié)合中位線(xiàn)的定義與拋物線(xiàn)的定義可得答案．

解答 （1）解：設(shè)拋物線(xiàn)方程為：y²=2px，
代入點(diǎn)P（2，2），可得2²=4p，∴p=1，∴y²=2x．
（2）證明：從A和B分別作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)AM，BN，垂足M、N，
取AB中點(diǎn)Q，作QH⊥準(zhǔn)線(xiàn) l，H為垂足，根據(jù)拋物線(xiàn)定義，|AM|=|AF|，|BN|=|BF|，|AM|+|BN|=|AB|，
QH是梯形AMNB的中位線(xiàn)，|QH|=$\frac{1}{2}$（|AM|+|BN|）=$\frac{1}{2}$|AB|，
若以|AB|為直徑作圓，則|HQ|是其半徑，無(wú)論AB位置如何變換，|QH|始終為$\frac{1}{2}$|AB|，且QH⊥準(zhǔn)線(xiàn)l，
∴以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)l相切．

點(diǎn)評(píng) 解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線(xiàn)的定義，以及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的判定．