Question

若曲線

x2

a-4

+

y2

a+5

=1的焦點(diǎn)為定點(diǎn)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)是

 

．

Answer 1

分析：當(dāng) a-4 和 a+5符號相同時，曲線表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，求出c=3，當(dāng) a-4 和 a+5符號相反時，曲線表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a+5

- 

x2

4-a

=1，求出c=3，從而得到焦點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：曲線

x2

a-4

+

y2

a+5

=1的焦點(diǎn)為定點(diǎn)，當(dāng) a-4 和 a+5符號相同時，曲線表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，
c=

(a+5)-(a-4)

=3，故焦點(diǎn)坐標(biāo)是 （0，±3）．
當(dāng) a-4 和 a+5符號相反時，曲線表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a+5

- 

x2

4-a

=1，
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a+5

- 

x2

4-a

=1，∴焦點(diǎn)在y軸上，c=

(a+5)+(4-a)

=3，
故焦點(diǎn)坐標(biāo)是 （0，±3）．
故答案為：（0，±3）．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的
數(shù)學(xué)思想，求出c=3，是解題的關(guān)鍵．