Question

函數(shù)f(x)=log₉(x+8-)在［1,+∞)上是增函數(shù),求a的取值范圍.

Answer 1

思路分析：由函數(shù)f(x)=log₉(x+8-)在［1,+∞)上是增函數(shù)可以得到兩個(gè)信息:

    ①對任意的1≤x₁＜x₂,總有f(x₁)＜f(x₂);

    ②當(dāng)x≥1時(shí),x+8-＞0恒成立.

解:∵函數(shù)f(x)=log₉(x+8-)在［1,+∞)上是增函數(shù),

    ∴對任意的1≤x₁＜x₂,有f(x₁)＜f(x₂),

    即log₉(x₁+8-)＜log₉(x₂+8-)得x₁+8-＜x₂+8-,即(x₁-x₂)(1+)＜0,

    ∵x₁-x₂＜0,∴1+＞0,

    ＞-1,a＞-x₁x₂.

    ∵x₂＞x₁≥1,∴要使a＞-x₁x₂恒成立,只要a≥-1.

    又∵函數(shù)f(x)=log₉(x+8-)在［1,+∞)上是增函數(shù),

    ∴1+8-a＞0,即a＜9.

    綜上a的取值范圍為［-1,9).

另解:(用導(dǎo)數(shù)求解)令g(x)=x+8-,

    ∵函數(shù)f(x)=log₉(x+8-)在［1,+∞)上是增函數(shù),

    ∴g(x)=x+8-在［1,+∞)上是增函數(shù),g′(x)=1+.

    ∴1+8-a＞0且1+≥0在［1,+∞)上恒成立,得-1≤a＜9.