Question

已知函數(shù)f(x)=-x³+ax²-4(a∈R)，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，對(duì)于任意的m∈[-1，1]，n∈[-1，1]，求f(m)+f′(n)的最小值；
（Ⅱ）若存在x₀∈(0，+∞)，使f(x₀)＞0，求a的取值范圍。

Answer 1

解：（1）由題意知，
令得x=0或，
當(dāng)x在[-1，1]上變化時(shí)，隨x的變化情況如下表：

∴對(duì)于m∈[-1，1]，f(m)的最小值為f(0)=-4，
的對(duì)稱軸為，且拋物線開口向下，
∴對(duì)于n∈[-1，1]，f′(n)的最小值為，
∴f(m)+f′(n)的最小值為-11。
（2），
①若a≤0，當(dāng)x＞0時(shí)，f′(x)＜0，
∴f(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，
又f(0)=-4，則當(dāng)x＞0時(shí)，，
∴當(dāng)a≤0時(shí)，不存在x₀＞0，使；
②若a＞0，則當(dāng)時(shí)，f′(x)＞0，
當(dāng)時(shí)，f′(x)＜0，
從而f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，，
根據(jù)題意，，即，解得a＞3；
綜上，a的取值范圍是。