Question

(理)如圖,正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,D是BC的中點(diǎn),AA₁=AB=1.

(1)求證:A₁C∥平面AB₁D;

(2)求二面角BAB₁D的大小;

(3)求點(diǎn)C到平面AB₁D的距離.

(文)如圖,正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,D是BC的中點(diǎn),AA₁=AB.

(1)求證:AD⊥B₁D;

(2)求證:A₁C∥平面AB₁D;

(3)求二面角BAB₁D的大小.

Answer 1

答案：(理)解法一:

(1)證明:連接A₁B,設(shè)A₁B∩AB₁=E,連接DE.

∵ABC—A₁B₁C₁是正三棱柱,且AA₁=AB,∴四邊形A₁ABB₁是正方形.∴E是A₁B的中點(diǎn).又D是BC的中點(diǎn),∴DE∥A₁C.

∵DE平面AB₁D,A₁C平面AB₁D,∴A₁C∥平面AB₁D.

(2)解:在面ABC內(nèi)作DF⊥AB于點(diǎn)F,在面A₁ABB₁內(nèi)作FG⊥AB₁于點(diǎn)G,連接DG.

∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC,∴DF⊥平面A₁ABB₁.∴FG是DG在平面A₁ABB₁上的射影.∵FG⊥AB₁,∴DG⊥AB₁.∴∠FGD是二面角BAB₁D的平面角.

設(shè)A₁A=AB=1,在正△ABC中,DF=,

在△ABE中,FG=BE=,

在Rt△DFG中,tan∠FGD=,所以,二面角BAB₁D的大小為arctan.

(3)解:∵平面B₁BCC₁⊥平面ABC,且AD⊥BC,∴AD⊥平面B₁BCC₁.又AD平面AB₁D,∴平面B₁BCC₁⊥平面AB₁D.在平面B₁BCC₁內(nèi)作CH⊥B₁D交B₁D的延長線于點(diǎn)H,則CH的長度就是點(diǎn)C到平面AB₁D的距離.

由△CDH∽△B₁DB,得CH=,即點(diǎn)C到平面AB₁D的距離是.

解法二:建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz,如圖.

(1)證明:連接A₁B,設(shè)A₁B∩AB₁=E,連接DE.設(shè)A₁A=AB=1,

則D(0,0,0),A₁(0,,1),E(-,,),C(,0,0).∴=(,-,-1),=(-,,).

∴=-2.∴A₁C∥DE.

∵DE平面AB₁D,A₁C平面AB₁D,∴A₁C∥平面AB₁D.

(2)解:∵A(0,,0),B₁(-,0,1),∴=(0,-,0),=(,0,-1).設(shè)n₁=(p,q,r)是平面AB₁D的法向量,則n₁·=0,且n₁·=0,故-q=0,p-r=0.取r=1,得n₁=(2,0,1);

同理,可求得平面AB₁B的法向量是n₂=(,-1,0).

設(shè)二面角BAB₁D的大小為θ,∵cosθ=,

∴二面角BAB₁D的大小為arccos.

(3)解:由(2)得平面AB₁D的法向量為n₁=(2,0,1),

取其單位法向量n=(,0,),又=(,0,0),

∴點(diǎn)C到平面AB₁D的距離d=|·n|=.

(文)解法一:(1)證明:

∵ABC—A₁B₁C₁是正三棱柱,∴BB₁⊥平面ABC.∴BD是B₁D在平面ABC上的射影.在正△ABC中,∵D是BC的中點(diǎn),∴AD⊥BD.根據(jù)三垂線定理得AD⊥B₁D.

(2)證明:連接A₁B,設(shè)A₁B∩AB₁=E,連接DE.∵AA₁=AB,∴四邊形A₁ABB₁是正方形.∴E是A₁B的中點(diǎn).又D是BC的中點(diǎn),∴DE∥A₁C.

∵DE平面AB₁D,A₁C平面AB₁D,∴A₁C∥平面AB₁D.

(3)解:在面ABC內(nèi)作DF⊥AB于點(diǎn)F,在面A₁ABB₁內(nèi)作FG⊥AB₁于點(diǎn)G,連接DG.∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC,∴DF⊥平面A₁ABB₁.∴FG是DG在平面A₁ABB₁上的射影.∵FG⊥AB₁,∴DG⊥AB₁.∴∠FGD是二面角BAB₁D的平面角.

設(shè)A₁A=AB=1,在正△ABC中,DF=,在△ABE中,FG=BE=,

在Rt△DFG中,tan∠FGD==,所以二面角BAB₁D的大小為arctan.

解法二:建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz,如圖.

則D(0,0,0),A(0,,0),B₁(-,0,1).

(1)證明:∵=(0,-,0),=(,0,-1),∴=0.∴⊥,即AD⊥B₁D.

(2)證明:連接A₁B,設(shè)A₁B∩AB₁=E,連接DE.∵A₁(0,,1),E(-,,),C(,0,0),

∴=(,-,-1),=(-,,).∴=-2.∴A₁C∥DE.

∵DE平面AB₁D,A₁C平面AB₁D,∴A₁C∥平面AB₁D.

(3)解:設(shè)n₁=(p,q,r)是平面AB₁D的法向量,則n₁·=0,且n₁·=0,故-q=0,p-r=0.取r=1,得n₁=(2,0,1);同理,可求得平面AB₁B的法向量是n₂=(,-1,0).

設(shè)二面角BAB₁D的大小為θ,∵cosθ=,

∴二面角BAB₁D的大小為arccos.