Question

6．如果直線ax+by+1=0被圓x²+y²=25截得的弦長(zhǎng)等于8，那么$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{^{2}}$的最小值等于27+$18\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)直線ax+by+1=0被圓x²+y²=25截得的弦長(zhǎng)等于8建立關(guān)系，找出a，b的關(guān)系，利用基本不等式求解即可．

解答 解：圓x²+y²=25，其圓心為（0，0，），半徑r=5，
圓心O到直線l的距離d=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$
弦長(zhǎng)=2$\sqrt{{r}^{2}-oo640eg^{2}}$=8，
可得：${a}^{2}+^{2}=\frac{1}{9}$，即9a²+9b²=1，
那么：（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{^{2}}$）（9a²+9b²）=9+18+$\frac{9^{2}}{{a}^{2}}+\frac{18{a}^{2}}{^{2}}$$≥27+2\sqrt{9×18}$=27+$18\sqrt{2}$
（當(dāng)且僅當(dāng)$^{2}=\sqrt{2}{a}^{2}$時(shí)取等號(hào)）．
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{^{2}}$的最小值等于27+$18\sqrt{2}$．
故答案為：27+$18\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的弦長(zhǎng)的運(yùn)用，根據(jù)截得的弦長(zhǎng)等于8建立關(guān)系，找出a，b的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．