Question

18．已知命題p：指數(shù)函數(shù)y=（2a-3）^x在R上單調(diào)遞減，命題q：使函數(shù)f（x）=x²+（3a-2）x+a-1在區(qū)間[-1，3]上與x軸恒有一個(gè)交點(diǎn)，且只有一個(gè)交點(diǎn)的實(shí)數(shù)a，若p或q為真，p且q為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出關(guān)于p，q的a的范圍，通過(guò)討論p，q的真假，得到不等式組，解出即可，在求關(guān)于命題q中a的范圍時(shí)，注意在解答時(shí)，先結(jié)合存在性問(wèn)題的特點(diǎn)先假設(shè)存在a符合題意，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)存在性的問(wèn)題結(jié)合二次函數(shù)的特點(diǎn)即可獲得問(wèn)題的解答，注意驗(yàn)證．

解答 解：關(guān)于命題p：指數(shù)函數(shù)y=（2a-3）^x在R上單調(diào)遞減，
∴0＜2a-3＜1，解得：$\frac{3}{2}$＜a＜2；
關(guān)于命題q：使函數(shù)f（x）=x²+（3a-2）x+a-1在區(qū)間[-1，3]上與x軸恒有一個(gè)交點(diǎn)，且只有一個(gè)交點(diǎn)的實(shí)數(shù)a，
若實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足條件，則只需f（-1）•f（3）≤0即可．
f（-1）•f（3）=（1-3a+2+a-1）•（9+9a-6+a-1）=4（1-a）（5a+1）≤0．所以a≤-$\frac{1}{5}$或a≥1．
檢驗(yàn)：（1）當(dāng)f（-1）=0時(shí)，a=1．所以f（x）=x²+x．令f（x）=0，即x²+x=0．得x=0或x=-1．
方程在[-1，3]上有兩根，不合題意，
故a≠1．
當(dāng)f（3）=0時(shí)，a=-$\frac{1}{5}$，此時(shí)f（x）=x²-$\frac{13}{5}$x-$\frac{6}{5}$．令f（x）=0，解之得x=-$\frac{2}{5}$或x=3．方程在[-1，3]上有兩根，不合題意，故a≠-$\frac{1}{5}$．
綜上所述：a的取值范圍為a＜-$\frac{1}{5}$或a＞1；
若p或q為真，p且q為假，則p，q一真一假，
p真q假時(shí)：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}＜a＜2}\\{-\frac{1}{5}≤a≤1}\end{array}\right.$，無(wú)解，
p假q真時(shí)：$\left\{\begin{array}{l}{a≥2或a≤\frac{3}{2}}\\{a＜-\frac{1}{5}或a＞1}\end{array}\right.$，
解得：a∈（-∞，-$\frac{1}{5}$）∪（1，$\frac{3}{2}$]∪[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了復(fù)合命題的判斷，考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用類(lèi)問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想、零點(diǎn)存在性知識(shí)以及結(jié)果驗(yàn)證的技巧．值得同學(xué)們體會(huì)反思．