Question

已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，對于任意x₁、x₂∈R，f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1恒成立，且當(dāng)x＞0時，f（x）＞1，若f（2013）=2014，且f（x²-ax-3）＜3對任意x∈（-1，1）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為

[-4，4]

．

Answer 1

分析：先利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷f（x）在R上的單調(diào)性，然后由f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1，f（2013）=2014可推得f（1）的值，進而可把3表示為f（x）的函數(shù)值，再根據(jù)單調(diào)性可去掉不等式f（x²-ax-3）＜3中的符號“f”，根據(jù)恒成立可得不等式組，解出即可．

解答：解：任意取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1-f（x₁）=f（x₂-x₁）-1，
∵x＞0時，f（x）＞1，且x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）-1＞1-1=0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）是定義在R上的增函數(shù)，
由f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1，得
f（2013）=f（2012）+f（1）-1
=f（2011）+2f（1）-2
=f（2010）+3f（1）-3
=…
=2013f（1）-2012，則2013f（1）-2012=2014，
∴f（1）=2，
∴3=f（1）+f（1）-1=f（2），
∴f（x²-ax-3）＜3對任意x∈（-1，1）恒成立，即f（x²-ax-3）＜f（2）對任意x∈（-1，1）恒成立，
又f（x）在R上遞增，
∴x²-ax-3＜2對任意x∈（-1，1）恒成立，即x²-ax-5＜0對任意x∈（-1，1）恒成立，
則有

(-1)2-a(-1)-5≤0 12-a•1-5≤0

，即

a-4≤0 -a-4≤0

，解得-4≤a≤4，
故答案為：[-4，4]．

點評：本題考查恒成立問題，考查抽象函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)值，考查抽象不等式，考查學(xué)生綜合運用知識分析解決問題的能力，把抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式是解決本題的關(guān)鍵所在．