Question

3．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是邊長為2的等邊三角形，D為AB中點．
（1）求證：BC₁∥平面A₁CD；
（2）若四邊形BCC₁B₁是正方形，且A₁D=$\sqrt{5}$，求直線A₁D與平面CBB₁C₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連AC₁，設(shè)AC₁與A₁C相交于點O，先利用中位線定理證明DO∥BC₁，再利用線面平行的判定定理證明結(jié)論即可．
（2）推導(dǎo)出三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，以C為原點，CB為x軸，CC₁為y軸，過C作平面CBB₁C₁的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線A₁D與平面CBB₁C₁所成角的正弦值．

解答 證明：（1）連AC₁，設(shè)AC₁與A₁C相交于點O，連DO，則O為AC₁中點，
∵D為AB的中點，
∴DO∥BC₁，
∵BC₁?平面A₁CD，DO?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD． 
解：∵底面△ABC是邊長為2等邊三角形，D為AB的中點，
四邊形BCC₁B₁是正方形，且A₁D=$\sqrt{5}$，
∴CD⊥AB，CD=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，AD=1，
∴AD²+AA₁²=A₁D²，∴AA₁⊥AB，
∵${A}_{1}{C}^{2}=4+4=8$，∴${A}_{1}{D}^{2}+C{D}^{2}={A}_{1}{C}^{2}$，
∴CD⊥DA₁，又DA₁∩AB=D，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，∵BB₁?平面ABB₁A₁，∴BB₁⊥CD，
∵矩形BCC₁B₁，∴BB₁⊥BC，
∵BC∩CD=C∴BB₁⊥平面ABC，
∵底面△ABC是等邊三角形，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱．
以C為原點，CB為x軸，CC₁為y軸，過C作平面CBB₁C₁的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
B（2，0，0），A（1，0，$\sqrt{3}$），D（$\frac{3}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），A₁（1，2，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（$\frac{1}{2}$，-2，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），平面CBB₁C₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
設(shè)直線A₁D與平面CBB₁C₁所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}D}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}D}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{10}$．
∴直線A₁D與平面CBB₁C₁所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{15}}{10}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．