Question

(本小題滿(mǎn)分16分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，直線(xiàn)與線(xiàn)段、分別交于點(diǎn)、.

(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求以為焦點(diǎn)，且過(guò)中點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

   (Ⅱ)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)∥交于點(diǎn)，記的外接圓為圓.

①           求證:圓心在定直線(xiàn)上；

②           圓是否恒過(guò)異于點(diǎn)的一個(gè)定點(diǎn)?若過(guò)，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)設(shè)橢圓的方程為,當(dāng)時(shí),PQ的中點(diǎn)為(0,3),所以b=3……………3分

而,所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為…………………5分

   (Ⅱ)①解法一:易得直線(xiàn),

所以可得,再由∥,得……………8分

則線(xiàn)段的中垂線(xiàn)方程為, 線(xiàn)段的中垂線(xiàn)方程為,

由,解得的外接圓的圓心坐標(biāo)為………10分

經(jīng)驗(yàn)證,該圓心在定直線(xiàn)上…………………………… 11分

解法二: 易得直線(xiàn),所以可得,再由∥,得………………………8分

設(shè)的外接圓的方程為,

則,解得…10分

所以圓心坐標(biāo)為,經(jīng)驗(yàn)證,該圓心在定直線(xiàn)上   …11分

②由①可得圓C的方程為………13分

該方程可整理為,

則由,解得或,

所以圓恒過(guò)異于點(diǎn)的一個(gè)定點(diǎn),該點(diǎn)坐標(biāo)為………………16分

 

【解析】略