Question

已知f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0，且a≠1）
（1）求其定義域；
（2）解方程f（2x）=f^-1（x）．

Answer 1

解：（1）由已知條件，知a^x-1＞0，即a^x＞1．
故當a＞1時，x＞0，當0＜a＜1時，x＜0．
即當a＞1時，函數的定義域為（0，+∞），
當0＜a＜1時，函數的定義域為（-∞，0）．
（2）令y=loh_a（a^x-1），同a^y=a^x-1，
x=log_a（a^y+1），即f^-1（x）=log_a（a^x+1）．
∵f（2x）=f^-1（x），∴l(xiāng)og_a（a^2x-1）=log_a（a^x+1），
即a^2x-1=a^x+1．
∴（a^x）²-a^x-2=0．
∴a^x=2，或a^x=-1（舍去）．
∴x=log_a2．
分析：（1）由已知條件，知a^x-1＞0，討論底數a的范圍，利用指數函數的單調性求出指數不等式的解集．
（2）先求出反函數f^-1（x），利用對數的性質，換元法解一元二次方程解出a^x，進而解出x．
點評：本題考查函數定義域的求法，求反函數以及利用換元法解一元二次方程，體現了分類討論及轉化的數學思想．