Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高，已知，∠APB =∠ADB=60°。

（1）證明：平面PAC⊥平面PBD；
（2）求四棱錐P-ABCD的體積；
（3）求PH與平面PAD所成的角的大小

Answer 1

解：（1）證明：因為PH是四棱錐P-ABCD的高， 所以AC⊥PH 又AC⊥BD， 所以AC⊥平面PBD， 又AC平面PAC 所以平面PAC⊥平面PBD。 （2）解：因為四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD， 所以HA=HB= 因為∠APB=∠ADB=60°， 所以PA=PB=，HD=HC=1 所以PH= 所以等腰梯形ABCD的面積為 所以四棱錐P-ABCD的體積為。
（3）解：過H作HE⊥AD于E，連接PE，如圖， 則PE⊥AD ∴AD⊥平面PEH 又AD平面PAD， ∴平面PEH⊥平面PAD 過H作HG⊥PE于G，則HG⊥平面PAD ∴∠HPG為PH與平面PAD所成的角 ∵，DH=1 ∴AD=2 ∴ 又 ∴ 即 故PH與平面PAD所成的角為。