Question

設函數(shù)f（x）=2x³+3ax²+3bx+8在x=1及x=2時取得極值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若對于任意的x∈[0，3]，求函數(shù)f（x）的最值．
（Ⅲ）若對x∈[0，3]，不等式f（x）＜m恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（I）利用導數(shù)的運算法則可得：f′（x）=6x²+6ax+3b，由于函數(shù)f（x）在x=1及x=2時取得極值．可知：1，2是方程f′（x）=0的兩個實數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，再進行驗證即可；
（II）列出表格，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可得出極值與最值；
（III）對x∈[0，3]，不等式f（x）＜m恒成立?m＞[f（x）]_max，由（II）即可得出．

解答： 解：（I）f′（x）=6x²+6ax+3b，
∵函數(shù)f（x）在x=1及x=2時取得極值．
∴1，2是方程f′（x）=0的兩個實數(shù)根，
∴1+2=-a，1×2=

b

2

，解得a=-3，b=4．
經(jīng)驗證a=-3，b=4滿足條件．
∴a=-3，b=4．
（II）由（I）可得：f（x）=2x³-9x²+12x+8．
f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
列出表格：

x	[0，1）	1	（1，2）	2	（2，3]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表格可知：當x=1時，函數(shù)f（x）取得極大值，f（1）=13，又f（3）=17，∴函數(shù)f（x）的最大值為17；當x=2時，函數(shù)f（x）取得極小值，f（2）=12，又f（0）=8，∴函數(shù)f（x）的最小值為8．
綜上可得：當x=3時，函數(shù)f（x）取得最大值17；當x=0時，函數(shù)f（x）取得最小值8．
（III）對x∈[0，3]，不等式f（x）＜m恒成立?m＞[f（x）]_max，由（II）可得：函數(shù)f（x）的最大值為17，∴m＞17．
∴m的取值范圍是（17，+∞）．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．