Question

5．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，S_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b_n=a_n•2^n-1，設(shè)A_n=$\frac{_{3}}{_{1}_{2}}$+$\frac{_{4}}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{_{n+2}}{_{n}_{n+1}}$，求A_n．

Answer 1

分析 （1）利用條件，再寫(xiě)一式，兩式相減，可得a_n+1-a_n-1=2（n≥2），所以a₂，a₄，a₆，…a_2n是首項(xiàng)為a₂，公差為2的等差數(shù)列；a₁，a₃，…a_2n-1是首項(xiàng)為a₁，公差為2的等差數(shù)列，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求得$\frac{_{n+2}}{_{n}_{n+1}}$=2[$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$]，再求A_n．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1，（n∈N^*），
∴S_n-1=$\frac{1}{2}$a_n-1a_n．
∴a_n=$\frac{1}{2}$a_n（a_n+1-a_n-1），即a_n+1-a_n-1=2（n≥2）．
∴a₂，a₄，a₆，…a_2n是首項(xiàng)為a₂，公差為2的等差數(shù)列；a₁，a₃，…a_2n-1是首項(xiàng)為a₁，公差為2的等差數(shù)列．
又a₁=1，S₁=$\frac{1}{2}$a₁a₂，可得a₂=2．
∴a_2n=2n，a_2n-1=2n-1（n∈N^*）．
∴所求數(shù)列的通項(xiàng)公式為：a_n=n．
（2）b_n=a_n•2^n-1=n•2^n-1，
∴$\frac{_{n+2}}{_{n}_{n+1}}$=2[$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$]，
∴A_n=$\frac{_{3}}{_{1}_{2}}$+$\frac{_{4}}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{_{n+2}}{_{n}_{n+1}}$=2[$\frac{1}{1•2}-\frac{1}{2•{2}^{2}}$+$\frac{1}{2•{2}^{2}}-\frac{1}{3•{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$]
=2[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$]=1-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確裂項(xiàng)是關(guān)鍵．