Question

已知：函數(shù)，（其中θ，m為常數(shù)，）圖象的一個對稱中心是．
（I）求θ和m的值；
（II）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（III） 求滿足的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中函數(shù)，我們易根據(jù)二倍角公式，及輔助角公式，將函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)的形式，又由函數(shù)圖象的一個對稱中心是．我們可以構(gòu)造關(guān)于θ和m的方程，解方程即可求出θ和m的值．
（II）根據(jù)（I）的結(jié)論我們易得到函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，我們易求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（III）利用的運算性質(zhì)，我們可將不等式轉(zhuǎn)化為一個三角函數(shù)不等式，然后根據(jù)（II）的結(jié)論，將不等式化為最簡形式后，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到答案．
解答：解：（I）函數(shù)
=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）+1+m
=2sin（2x+θ+）+m+1
又∵圖象的一個對稱中心是
∴+θ+=kπ，且m+1=2
又∵，
∴，m=1
（II）由（1）得，函數(shù)的解析式可化為f（x）=2sin（2x+）+2=2cos2x+2
令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，
解得kπ≤x≤kπ+，k∈Z，
則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ，kπ+]，（k∈Z），
（III）若
即0＜f（x）＜1
即0＜2cos2x+2＜1
即-1＜cos2x＜-
即2x∈（2kπ+，2kπ+π）∪（2kπ+π，2kπ+），（k∈Z），
即x∈（kπ+，kπ+）∪（kπ+，kπ+），（k∈Z）．
點評：本題考查的知識點是正弦型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的性質(zhì)，余弦型函數(shù)的單調(diào)性及余弦函數(shù)的性質(zhì)，其中根據(jù)二倍角公式，及輔助角公式，結(jié)合正弦型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的性質(zhì)及已知中函數(shù)圖象的一個對稱中心是，構(gòu)造關(guān)于θ和m的方程，求出函數(shù)的解析式，是解答本題的關(guān)鍵．