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12．已知an=n2，cn=$\frac{1}{{a}_{n}}$，Tn為{cn}的前n項和，求證：1≤Tn＜2．

分析 運用放縮法證明，當n＞1時，$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，由裂項相消求和即可得證．

解答 證明：an=n2，Cn=$\frac{1}{{n}^{2}}$，
則Tn=c1+c2+…+cn=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$，
即有Tn≥1，
當n＞1時，$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
Tn＜1+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=2-$\frac{1}{n}$＜2．
則有1≤Tn＜2．

點評 本題考查數(shù)列不等式的證明，考查放縮法和裂項相消求和，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

2．已知命題P：函數(shù)y=loga（2x+1）在定義域上單調遞增；命題Q：不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4＜0對任意實數(shù)x恒成立，若P、Q都是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

3．空間四邊形P-ABC中，PA=PB=PC=AB=BC=CA．
（1）寫出圖中幾組異面直線；
（2）畫出與AB，PC都垂直且相交的直線．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

20．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f′（x）＞1，則不等式f（x）+2x+1＞f（3x+1）的解集是（　�。�
A．（-∞，-1）B．（-1，+∞）C．（-∞，-$\frac{1}{2}$）D．（-$\frac{1}{2}$，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

7．若數(shù)列{an}的第四項是15，（an+1-an-3）（an+1-4an）=0（n∈N*），則滿足條件的a1所有可能值之積為0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

17．已知f（x）=sin2x+sinxcosx，則f（x）的最小正周期和單調增區(qū)間分別為π，[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]（k∈Z）．．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

4．已知$\frac{2si{n}^{2}x+sin2x}{1+tanx}=\frac{1}{2}$（$\frac{π}{4}＜x＜\frac{π}{2}$），則sinx-cosx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

1．函數(shù)f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)，則a的取值范圍是（　　）
A．[-$\frac{5}{4}$，0）B．（0，+∞）C．[-$\frac{5}{4}$，0）∪（0，+∞）D．[-$\frac{5}{4}$，0）∪[$\frac{5}{4}$，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

2．已知∅?{x|x2+x+a=0}，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{4}$]．

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