Question

已知a₁,a₂,…,a_n都是正數(shù)，且a₁+a₂+…+a_n＝1，求證：

(a₁+)²+(a₂+)²+…+(a_n+)²≥.

Answer 1

證明:原不等式等價(jià)于

n［(a₁+)²+(a₂+)²+…+(a_n+)²］≥(n²+1)².

∵(1²+1²+…+1²)·［(a₁+)²+(a₂+)²+…+(a_n+)²］≥［(a₁+)+(a₂+)+…+(a_n+)］²

=［1+(++…+)］²,①

又由調(diào)和平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)知

,

∴++…+≥n²，代入①式即得.