Question

11．已知直線l₁：x+2y-5=0與直線l₂：mx-ny+5=0（n∈Z）相互垂直，點(diǎn)（2，5）到圓C：（x-m）²+（y-n）²=1的最短距離為3，則mn=2．

Answer 1

分析 由直線l₁與直線l₂相互垂直，得到m-2n=0，由點(diǎn)（2，5）到圓C：（x-m）²+（y-n）²=1的最短距離為3，得到$\sqrt{（2-m）^{2}+（5-n）^{2}}$=3+1，聯(lián)立方程組能求出m，n，由此能求出mn．

解答 解：∵直線l₁：x+2y-5=0與直線l₂：mx-ny+5=0（n∈Z）相互垂直，
∴依題意，m-2n=0，①
∵點(diǎn)（2，5）到圓C：（x-m）²+（y-n）²=1的最短距離為3，
∴$\sqrt{（2-m）^{2}+（5-n）^{2}}$=3+1，②
聯(lián)立①②，解得m=2，n=1，
∴mn=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩數(shù)積的求法，考查圓、直線方程、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與直線垂直等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．