Question

（本題滿分12分）

如圖，四邊形是邊長為2的正方形，為等腰三角形，，平面⊥平面，點在上，且平面．

（Ⅰ）判斷直線與平面是否垂直，并說明理由；

（Ⅱ）求點到平面的距離．

 

Answer 1

【答案】

 

、證明：（Ⅰ）因為BF⊥平面ACE，所以BF⊥AE.                   

因為平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，

平面ABCD∩平面ABE＝AB，所以BC⊥平面ABE，從而BC⊥AE.

       

于是AE⊥平面BCE.                ……6分  

（Ⅱ）方法一：連結(jié)BD交AC與點M，則點M是BD的中點，

所以點D與點B到平面ACE的距離相等.

因為BF⊥平面ACE，所以BF為點B到平面ACE的距離. 

因為AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE.

又AE＝BE，所以△AEB是等腰直角三角形.

因為AB＝2，所以BE＝.                       

在Rt△CBE中，.             

所以.

故點D到平面ACE的距離是.             ……12分

方法二：過點E作EG⊥AB，垂足為G，因為平面ABCD⊥平面ABE，所以EG⊥平面ABCD.

因為AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE.又AE＝BE，所以△AEB是等腰直角三角形，從而G為AB的中點.又AB＝2，所以EG＝１.     

因為AE⊥平面BCE ，所以AE⊥EC.

又AE＝BE＝，. 

設(shè)點D到平面ACE的距離為ｈ，因為ＶＤ－ACE＝VE－ACD，則.

所以，故點D到平面ACE的距離是. 12分

 

【解析】略