Question

如圖，在三棱錐S—ABC中，SC⊥平面ABC，點P、M分別是SC和SB的中點，設(shè)PM=AC=1，∠ACB=90°，直線AM與直線SC所成的角為60°。

（1）求證：平面MAP⊥平面SAC。

（2）求二面角M—AC—B的平面角的正切值；

  

Answer 1

（1）見解析（2）

解析:

（I）∵SC⊥平面ABC，SC⊥BC，又∵∠ACB=90°

∴AC⊥BC，AC∩SC=C，BC⊥平面SAC，

又∵P，M是SC、SB的中點

∴PM∥BC，PM⊥面SAC，∴面MAP⊥面SAC，　　　　

   （II）∵AC⊥平面SAC，∴面MAP⊥面SAC.

∴AC⊥CM，AC⊥CB，從而∠MCB為二面角M—AC－B的平面角，

∵直線AM與直線PC所成的角為60°

         ∴過點M作MN⊥CB于N點，連結(jié)AN，

則∠AMN=60°在△CAN中，由勾股定理得

         在Rt△AMN中，=

         在Rt△CNM中，

         故二面角M—AB—C的正切值為.