Question

16．設(shè)f（x）=$\frac{x}{a（x+2）}$，若f（x）=x有唯一解，且f（x₀）=$\frac{1}{1006}$，x_n=f（x_n-1），n=1，2，3，…
（1）判斷數(shù)列{$\frac{1}{{x}_{n}}$}是否是等差數(shù)列．
（2）求x₂₀₁₃的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得f（x）=$\frac{2x}{x+2}$，從而x_n=f（x_n-1）=$\frac{2{x}_{n-1}}{{x}_{n-1}+2}$，$\frac{1}{{x}_{n}}$-$\frac{1}{{x}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，由此能求出數(shù)列{$\frac{1}{{x}_{n}}$}是首項(xiàng)為1006，公差等于$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列．
（2）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出x₂₀₁₃的值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{x}{a（x+2）}$，f（x）=x有唯一解，
∴x=$\frac{x}{a（x+2）}$，解得x=0或x=$\frac{1}{a}$-2，
由題意知$\frac{1}{a}$-2=0，∴a=$\frac{1}{2}$，f（x）=$\frac{2x}{x+2}$，
∴x_n=f（x_n-1）=$\frac{2{x}_{n-1}}{{x}_{n-1}+2}$，
∴$\frac{1}{{x}_{n}}$-$\frac{1}{{x}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，
又∵x₁=f（x₀）=$\frac{1}{1006}$，∴$\frac{1}{{x}_{1}}$=1006，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{x}_{n}}$}是首項(xiàng)為1006，公差等于$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列．
（2）$\frac{1}{{x}_{2013}}$=$\frac{1}{{x}_{1}}$+（2013-1）$\frac{1}{2}$=1006+1006=2012，
∴x₂₀₁₁=$\frac{1}{2012}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，等差數(shù)列的證明，數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，證明數(shù)列是等差數(shù)列是關(guān)鍵．