Question

【題目】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為，已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離是.

（1）求橢圓的方程和拋物線(xiàn)的方程；

（2）若是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)且在第一象限，滿(mǎn)足，直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，且，當(dāng)的面積取得最大值時(shí)，求直線(xiàn)的方程.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為，拋物線(xiàn)的方程為；（2）或

【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓與拋物線(xiàn)幾何條件列方程組，解得，得即得結(jié)果.（2）先根據(jù)拋物線(xiàn)定義求出B點(diǎn)坐標(biāo)，確定MN斜率，設(shè)直線(xiàn)方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式得底邊邊長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式得高，代入三角形面積公式得的面積函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)二次函數(shù)最值求法確定直線(xiàn)的方程.

試題解析：（1）由題意可列方程組：

，解得，所以.

從而橢圓的方程為，拋物線(xiàn)的方程為.

（2）可設(shè)，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，

由拋物線(xiàn)的定義得： ，解得，

所以，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以.

從而.由于，所以，

的方程可設(shè)為： ，即： .

設(shè)，

聯(lián)立方程組，消去得： ，

可得，

整理為，解得： .

∴， .

所以

點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.

所以

當(dāng)時(shí)，即： 時(shí)的面積取得最大值.

此時(shí)的方程為或.