Question

如果存在正實數(shù)a，使得f（x-a）為奇函數(shù)，f（x+a）為偶函數(shù)，我們稱函數(shù)f（x）為“和諧函數(shù)”．給出下列四個函數(shù)：
①f（x）=（x-1）⁵+5
②f（x）=cos2（x-

π

4

）
③f（x）=sinx+cosx
④f（x）=ln|x+1|
其中“和諧函數(shù)”的個數(shù)為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：新定義

分析：①由f（0）=4≠0，故無論正數(shù)a取什么值，f（x-a）都不是奇函數(shù)，因此函數(shù)f（x）不可能是“和諧函數(shù)”；
②先化簡f（x）=sin2x，因為只有將函數(shù)f（x）的圖象向左或向右平移

π

4

的整數(shù)倍時，才為奇函數(shù)或偶函數(shù)，代入進行驗證看是否符合“和諧函數(shù)”的定義即可；
③由f（x）=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，因為只有將函數(shù)f（x）的圖象向左

π

4

的整數(shù)倍時，才為奇函數(shù)或偶函數(shù)，代入進行驗證看是否符合“和諧函數(shù)”的定義即可；
④只有f（x-1）=ln|x|為偶函數(shù)；而f（x+1）=ln|x+2|為非奇非偶函數(shù)，故可得出答案．

解答： 解：①由f（x）=（x-1）⁵+5∵f（0）=4≠0，∴無論正數(shù)a取什么值，f（x-a）都不是奇函數(shù)，函數(shù)f（x）不可能是“和諧函數(shù)”；
②②∵f（x）=cos（2x-

π

2

）=sin2x，
∴當α=kπ±

π

4

時，f（x±a）=sin（2x±2kπ±

π

2

）=±cos2x為偶函數(shù)；
當α=kπ±

π

2

時，f（x±a）=sin（2x±（2kπ±π））=±sinx為奇函數(shù)．
因為只有將函數(shù)f（x）的圖象向左或向右平移

π

4

的整數(shù)倍時，才為奇函數(shù)或偶函數(shù)，故不存在正數(shù)a使得函數(shù)f（x）是“和諧函數(shù)”；
③由f（x）=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，因為f（x-

π

4

）=

2

sinx是奇函數(shù)，f（x+

π

4

）=

2

cosx是偶函數(shù)，故是“和諧函數(shù)”；
④∵f（x）=ln|x+1|，∴只有f（x-1）=ln|x|為偶函數(shù)；而f（x+1）=ln|x+2|為非奇非偶函數(shù)，故不存在正數(shù)a使得函數(shù)f（x）是“和諧函數(shù)”．
綜上可知：①②④都不是“和諧函數(shù)”．
故答案為1個．
故選：A．

點評：正確理解“和諧函數(shù)”的意義是解題的關(guān)鍵．