Question

在正△ABC中，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，滿足（如圖(1)）.

將△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，連結(jié)A₁B、A₁C（如圖(2)）.

             

(1)                         (2)

（1）求證：A₁E⊥平面BEC；

（2）求直線A₁E與平面A₁BC所成角的大小.

Answer 1

解:不妨設(shè)正△ABC的邊長為3，則(1)在題圖(1)中，取BE中點(diǎn)D，連結(jié)DF，

∵==,

∴AE=1,AF=2.而∠A=60°，∴EF⊥AE.∵在題圖(2)中有A₁E⊥EF,BE⊥EF,

∴∠A₁EB為二面角A₁EFB的平面角.

∵二面角A₁EFB為直二面角,∴A₁E⊥BE.

又∵BE∩EF=E,∴A₁E⊥平面BEC.

(2)過E作EH⊥BC于H，連結(jié)A₁H，作EO⊥A₁H于O，證明EO⊥平面A₁BC，在Rt△A₁EH中求得直線A₁E與平面A₁BP所成角的大小為.