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設函數f（x）=3cos（2x+
π
3
），g（x）=
1
3
f（x）+sin2x．
（1）求函數f（x）的最小正周期和最大值；
（2）在△ABC中，B為銳角，g（
B
2
）=-
1
4
，
m
=（1，1-2cosA），
n
=（1，cosA），且
m
∥
n
，求sinC．
考點：三角函數的周期性及其求法,平行向量與共線向量,兩角和與差的正弦函數
專題：三角函數的圖像與性質
分析：（1）根據三角函數的圖象和性質，即可求函數f（x）的最小正周期和最大值；
（2）在△ABC中，B為銳角，g（
B
2
）=-
1
4
，代入求解B，根據
m
∥
n
，求出cosA，利用兩角和的正弦公式即可求sinC．
解答： 解：（1）∵f（x）=3cos（2x+
π
3
），
∴函數的周期T=
2π
2
=π，當cos（2x+
π
3
）=1時，函數取得最大值此時f（x）=3，
即函數f（x）的最小正周期為π和最大值3；
（2）g（x）=
1
3
f（x）+sin2x=g（x）=cos（2x+
π
3
）+sin2x=cos2xcos
π
3
-sinx2xsin
π
3
+
1-cos2x
2
=
1
2
-
3
2
sin2x，
在△ABC中，B為銳角，g（
B
2
）=
1
2
-
3
2
sinB=-
1
4
，即sinB=
3
2
，
∴B=
π
3
，
∵
m
=（1，1-2cosA），
n
=（1，cosA），且
m
∥
n
，
∴1-2cosA=cosA，即cosA=
1
3
，sinA=
2
3
3

則sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=
2
3
3
×
1
2
+
1
3
×
3
2
=
3
2
．
點評：本題主要考查了三角函數的最值以及最小正周期的求法以及兩角和差的三角函數公式，要求熟練掌握相應的公式是解決本題的關鍵．．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知⊙C1：(x+2
5
)2+y2=4，⊙C2：(x-2
5
)2+y2=4，
（1）若動圓M與⊙C1內切，與⊙C2外切，求動圓圓心M的軌跡E的方程；
（2）若直線l：y=kx+1與軌跡E有兩個不同的交點，求k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在如圖所示的多面體ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF=EF，∠BAD=60°，AB=2，DE=EF=1．
（Ⅰ）求證：BC∥EF；
（Ⅱ）求三棱錐B-DEF的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點．
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形．
（2）求證：AC∥平面EFGH．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知各項均為正數的數列{an}前n項和為Sn，首項為a1，且
1
2
，an，Sn成等差數列．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）若an2=（
1
2
） bn，設cn=
bn
an
，求數列{cn}的前n項和Tn．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=2sin（2x+
π
3
）．
（1）用“五點法”作出函數f（x）在[-
π
6
，
5π
6
]上的圖象； 
（2）寫出函數f（x）在[-
π
6
，
5π
6
]上的單調遞增區(qū)間；
（3）當x∈[0，
π
2
]時，求函數f（x）的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=mx2+x+m+2在（-∞，2）上是增函數，則實數m的取值范圍是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a＞0，函數f（x）=
sin
π
2
x，x∈[-1，0)
ax2+ax+1，x∈[0，+∞)
，若f（t-
1
3
）＞-
1
2
，則實數t的取值范圍為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若sin（
π
6
-α）=m，則cos（
2π
3
-α）=
 
．

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