Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x（lnx+1）在[$\frac{1}{e^2}$，1]上的最小值為m，則ln|m|的值是（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{e}$
• C． $\frac{1}{e^2}$
• D． 1

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到f（x）在[$\frac{1}{e^2}$，1]上遞增，從而求出m的值，代入ln|m|計算即可．

解答 解：$f'（x）={e^x}（{lnx+\frac{1}{x}+1}）$，
令$g（x）=lnx+\frac{1}{x}+1$，
∴$g'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$，
∴g（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
∴g（x）≥g（1）=2＞0，∴f'（x）＞0，
∴f（x）在$[{\frac{1}{e^2}，\;\;1}]$上為增函數(shù)，
∴$m=f（{\frac{1}{e^2}}）=-{e^{\frac{1}{e^2}}}$，
∴$ln|m|=\frac{1}{e^2}$，
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．