Question

已知

OA

=（1，2，3），

OB

=（2，1，2），

OP

=（1，1，2），點(diǎn)Q在直線(xiàn)OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)

QA

•

QB

取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（　　）

• A、(

  1

  2

  ，

  3

  4

  ，

  1

  3

  )
• B、(

  1

  2

  ，

  3

  2

  ，

  3

  4

  )
• C、(

  4

  3

  ，

  4

  3

  ，

  8

  3

  )
• D、(

  4

  3

  ，

  4

  3

  ，

  7

  3

  )

Answer 1

分析：可先設(shè)Q（x，y，z），由點(diǎn)Q在直線(xiàn)OP上可得Q（λ，λ，2λ），則由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得

QA

•

QB

=2（3λ²-8λ+5），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求，取得最小值時(shí)的λ，進(jìn)而可求Q

解答：解：設(shè)Q（x，y，z）
由點(diǎn)Q在直線(xiàn)OP上可得存在實(shí)數(shù)λ使得

OQ

=λ

OP

，則有Q（λ，λ，2λ）

QA

=(1-λ，2-λ，3-2λ)，

QB

=(2-λ，1-λ，2-2λ)
當(dāng)

QA

•

QB

=（1-λ）（2-λ）+（2-λ）（1-λ）+（3-2λ）（2-2λ）=2（3λ²-8λ+5）
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)λ=

4

3

時(shí)，取得最小值-

2

3

此時(shí)Q (

4

3

，

4

3

，

8

3

)
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面向量的共線(xiàn)定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由點(diǎn)Q在直線(xiàn)OP上可得存在實(shí)數(shù)λ使得

OQ

=λ

OP

，進(jìn)而有Q（λ，λ，2λ），然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于λ的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)求解最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用．