Question

17．若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的取值范圍為[3+2$\sqrt{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 求得雙曲線的焦點(diǎn)F，設(shè)出點(diǎn)P，代入雙曲線方程求得縱坐標(biāo)的表達(dá)式，根據(jù)P，F(xiàn)，O的坐標(biāo)表示$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$，進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得其最小值，則可得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的取值范圍．

解答 解：設(shè)P（m，n），由F（-2，0），O（0，0），
則$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$=（m，n）•（m+2，n）=m²+2m+n²．
由點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，
可得$\frac{{m}^{2}}{3}$-n²=1（m≥$\sqrt{3}$），
即n²=$\frac{{m}^{2}}{3}$-1，
則m²+2m+n²=m²+2m+$\frac{{m}^{2}}{3}$-1=$\frac{4}{3}$m²+2m-1=$\frac{4}{3}$（m+$\frac{3}{4}$）²-$\frac{7}{4}$，
由m≥$\sqrt{3}$＞-$\frac{3}{4}$，
可得函數(shù)在[$\sqrt{3}$，+∞）上單調(diào)遞增，
即有m²+2m+n²≥3+2$\sqrt{3}$，
則$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的取值范圍為[3+2$\sqrt{3}$，+∞）．
故答案為：[3+2$\sqrt{3}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查待定系數(shù)法求雙曲線方程，考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、二次函數(shù)的單調(diào)性與最值等，考查了同學(xué)們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的熟練程度以及知識(shí)的綜合應(yīng)用能力、運(yùn)算能力．