Question

12．已知函數f（x）=cosx+a•x，x∈R的圖象在$（\frac{π}{6}，f（\frac{π}{6}））$處的切線的斜率為0．
（1）求實數a的值；
（2）求f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，求得切線的斜率，解方程可得a；
（2）由導數大于0，可得增區(qū)間；由導數小于0，可得減區(qū)間，結合正弦函數的圖象及性質．

解答 解：（1）函數f（x）=cosx+a•x的導數為f′（x）=a-sinx，
由題意可得a-sin$\frac{π}{6}$=0，解得a=$\frac{1}{2}$；
（2）由f′（x）=$\frac{1}{2}$-sinx＞0，解得2kπ-$\frac{7π}{6}$＜x＜2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
由f′（x）＜0，解得2kπ+$\frac{π}{6}$＜x＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
即有單調增區(qū)間為（2kπ-$\frac{7π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$），
單調減區(qū)間為（2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{5π}{6}$），k∈Z．

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率和單調區(qū)間，同時考查三角函數的圖象和性質，考查運算能力，屬于中檔題．