Question

在直角坐標(biāo)系xoy中，動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)F（1，0）的距離和它到定直線x=2的距離之比是

2

2

．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線Γ上的三點(diǎn)A（x₁，y₁），B（1，

2

2

），C（x₂，y₂）與點(diǎn)F的距離成等差數(shù)列，線段AC的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為T，求直線BT的斜率k．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由已知，得

(x-1)2+y2

|x-2|

=

2

2

，由此能求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C₁的方程和軌跡是什么圖形．
（Ⅱ）由已知可得|AF|=

2

2

（2-x₁），|BF|=

2

2

（2-1），|CF|=

2

2

（2-x₂）因?yàn)?|BF|=|AF|+|CF|，所以x₁+x₂=2，故線段AC的中點(diǎn)為（1，

y1+y2

2

），其垂直平分線方程為y-

y1+y2

2

=-

x1-x2

y1-y2

（x-1），由此能求出直線BT的斜率．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，得

(x-1)2+y2

|x-2|

=

2

2

．…（2分）
兩邊平方，化簡得

x2

2

+y2=1．
故軌跡Γ的方程是

x2

2

+y2=1． …（4分）
（Ⅱ）由已知可得|AF|=

2

2

（2-x₁），|BF|=

2

2

（2-1），|CF|=

2

2

（2-x₂）．…（6分）
因?yàn)?|BF|=|AF|+|CF|，所以

2

2

（2-x₁）+

2

2

（2-x₂）=2×

2

2

（2-1），
即得x₁+x₂=2，①…（5分）．
故線段AC的中點(diǎn)為（1，

y1+y2

2

），
其垂直平分線方程為y-

y1+y2

2

=-

x1-x2

y1-y2

（x-1），②…（6分）．
因?yàn)锳，C在橢圓上，所以代入橢圓，兩式相減，把①代入化簡得：-

x1-x2

y1-y2

=y₁+y₂． ④…（10分）
把④代入②，令y=0得，x=0.5，∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為（0.5，0）．…（11分）
∴直線BT的斜率k=

2 2 -0

1-0.5

=

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．