Question

14．等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知對(duì)任意的n∈N^*，點(diǎn)（n，S_n）均在函數(shù)y=2ⁿ+r（r為常數(shù)）的圖象上，記b_n=2（log₂a_n+1）（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）若數(shù)列{c_n}滿足c_n=$\frac{{_{n}}^{2}+1}{{_{n}}^{2}-1}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)將點(diǎn)（n，S_n）代入函數(shù)y=2ⁿ+r（r為常數(shù)）方程，利用a_n=S_n-S_n-1可知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可知列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）通過(guò)（1）裂項(xiàng)可知c_n=1+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）（n≥2），進(jìn)而并項(xiàng)相加，分類討論即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)（n，S_n）均在函數(shù)y=2ⁿ+r（r為常數(shù)）的圖象上，
∴S_n=2ⁿ+r，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2+r，}&{n=1}\\{{2}^{n-1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
∵b_n=2（log₂a_n+1）（n∈N^*），
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{2（lo{g}_{2}（2+r）+1），}&{n=1}\\{2n，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知c_n=$\frac{{_{n}}^{2}+1}{{_{n}}^{2}-1}$=1+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）（n≥2），
當(dāng)n≥2時(shí)，T_n-T₁=c₂+c₃+…+c_n
=（n-1）+1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$
=n-$\frac{1}{2n+1}$，
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{{c}_{1}，}&{n=1}\\{{c}_{1}+n-\frac{1}{2n+1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
其中c₁=$\frac{{_{1}}^{2}+1}{{_{1}}^{2}-1}$=$\frac{4[lo{g}_{2}（2+r）]^{2}+8lo{g}_{2}（2+r）+5}{4[lo{g}_{2}（2+r）^{2}]^{2}+8lo{g}_{2}（2+r）+3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查分類討論的思想，考查裂項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．