Question

已知橢圓C₁：+=1，拋物線C₂：(y-m)²=2px(p＞0)，且C₁、C₂的公共弦AB過橢圓C₁的右?焦點(diǎn).

（1）當(dāng)AB⊥x軸時，求p,m的值，并判斷拋物線C₂的焦點(diǎn)是否在直線AB上；

（2）若p=且拋物線C₂的焦點(diǎn)在直線AB上，求m的值及直線AB的方程.

Answer 1

(1)解:當(dāng)AB⊥x軸時，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對稱，所以m＝0.直線AB的方程為x=1，從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，)或(1，).因為點(diǎn)A在拋物線上，所以=2p，即p=.

此時C₂的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，該焦點(diǎn)不在直線AB上.

(2)解:當(dāng)C₂的焦點(diǎn)在AB上時，由(1)知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1).

由消去y得(3+4k²)x²-8k²x+4k²-12=0.①

設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x₁,y₁)、(x₂,y₂),則x₁,x₂是方程①的兩根，x₁+x₂=.

因為AB既是過C₁的右焦點(diǎn)的弦，又是過C₂的焦點(diǎn)的弦，

所以|AB|=(2x₁)+(2x₂)=4-(x₁+x₂)，且|AB|=(x₁+)+(x₂+)=x₁+x₂+p=x₁+x₂+.

從而x₁+x₂+=4(x₁+x₂).所以x₁+x₂=，即=.解得k²=6,即k=±.

因為C₂的焦點(diǎn)F′(,m)在直線y=k(x-1)上，所以m=k，即m=或m=-.

當(dāng)m=時，直線AB的方程為y=-(x-1)；

當(dāng)m=-時，直線AB的方程為y=(x-1).