Question

已知（1+

x

2

）ⁿ（n∈N^*）展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)分別為a₀、a₁、a₂，且12a₀a₂=5a₁²．
（1）求n的值；
（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（1）根據(jù)題意，求出a₀、a₁、a₂，利用12a₀a₂=5a₁²，再求出n的值；
（2）設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，列出不等式組，求出r的值，從而求出(1+

x

2

)6展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答： 解：（1）∵（1+

x

2

）ⁿ（n∈N^*）展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)分別為a₀、a₁、a₂，
∴a₀=1，a₁=

1

2

C

1 n

=

1

2

n，
a₂=(

1

2

)2•

C

2 n

=

1

8

n（n-1）；
又∵12a₀a₂=5a₁²，
∴12×1×

1

8

n（n-1）=5×(

1

2

n)2，
解得，n=6或n=0（舍去），
∴n=6；…..（5分）
（2）設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，則有

C r n •( 1 2 )r ≥C r-1 n •( 1 2 )r-1 C r n •( 1 2 )r ≥C r+1 n •( 1 2 )r+1

，
解得

r≤ 7 3 r≥ 4 3

；
又∵r∈N，
∴r=2；…（8分）
當(dāng)r=2時(shí)，上述不等式等號(hào)均不成立，
因此只有第三項(xiàng)系數(shù)最大，
∴(1+

x

2

)6展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為T₃=

C

2 6

•(

x

2

)2=

15

4

x²．…（10分）

點(diǎn)評：本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，也考查了不等式組的解法與應(yīng)用問題，是中檔題目．