Question

20．對(duì)任意x∈（0，$\frac{π}{2}$），不等式tanx•f（x）＜f′（x）恒成立，則下列不等式錯(cuò)誤的是（　�。�

• A． f（$\frac{π}{3}$）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）
• B． f（$\frac{π}{3}$）＞2cos1•f（1）
• C． 2cos1•f（1）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）
• D． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)F（x）=cosxf（x），求導(dǎo)數(shù)結(jié)合已知條件可得函數(shù)F（x）在x∈（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，可得F（$\frac{π}{6}$）＜F（$\frac{π}{4}$）＜F（1）＜F（$\frac{π}{3}$），代值結(jié)合選項(xiàng)可得答案．

解答 解：∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴sinx＞0，cosx＞0，
構(gòu)造函數(shù)F（x）=cosxf（x），
則F′（x）=-sinxf（x）+cosxf′（x）
=cosx[f′（x）-tanxf（x）]，
∵對(duì)任意x∈（0，$\frac{π}{2}$），不等式tanx•f（x）＜f′（x）恒成立，
∴F′（x）=cosx[f′（x）-tanxf（x）]＞0，
∴函數(shù)F（x）在x∈（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，
∴F（$\frac{π}{6}$）＜F（$\frac{π}{4}$）＜F（1）＜F（$\frac{π}{3}$），
∴cos$\frac{π}{6}$f（$\frac{π}{6}$）＜cos$\frac{π}{4}$f（$\frac{π}{4}$）＜cos1f（1）＜cos$\frac{π}{3}$f（$\frac{π}{3}$），
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$f（$\frac{π}{6}$）＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$f（$\frac{π}{4}$）＜cos1f（1）＜$\frac{1}{2}$f（$\frac{π}{3}$），
∴$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＜2cos1f（1）＜f（$\frac{π}{3}$），
結(jié)合選項(xiàng)可知D錯(cuò)誤．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．