Question

2．設(shè)$f（x）={x^5}+ln（x+\sqrt{{x^2}+1}）$，則對任意實(shí)數(shù)a，b，“a+b≥0”是“f（a）+f（b）≥0”的（（　　）

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 先判定函數(shù)f（x）的奇偶性與單調(diào)性，即可得出．

解答 解：∵$f（x）={x^5}+ln（x+\sqrt{{x^2}+1}）$，x∈R．
∴f（-x）+f（x）=（-x）⁵+$ln（-x+\sqrt{{x}^{2}+1}）$+x⁵+ln$（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）$=ln（-x²+x²+1）=0，
∴函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，
又函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．
則對任意實(shí)數(shù)a，b，“a+b≥0”?a≥-b?f（a）≥f（-b）=-f（b）?“f（a）+f（b）≥0”．
∴對任意實(shí)數(shù)a，b，“a+b≥0”是“f（a）+f（b）≥0”的充要條件．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．