Question

17．已知△ABC的三邊a，b，c和其面積S滿足S=c²-（a-b）²，則tanC=$\frac{8}{15}$．

Answer 1

分析 由已知等式及余弦定理可解得：$\frac{1-cosC}{sinC}$=$\frac{1}{4}$，利用倍角公式及同角三角函數(shù)關(guān)系式可求tan$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{4}$，利用倍角公式即可求得tanC的值．

解答 解：∵由題意可得：S=c²-（a²+b²）+2ab=-2abcosC+2ab=2ab（1-cos C）=$\frac{1}{2}$absinC，
∴解得：$\frac{1-cosC}{sinC}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{2si{n}^{2}\frac{C}{2}}{2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}}$=$\frac{1}{4}$，
∴tan$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{4}$，tanC=$\frac{2tan\frac{C}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{C}{2}}$=$\frac{2×\frac{1}{4}}{1-（\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{8}{15}$．
故答案為：$\frac{8}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，倍角公式及同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．