Question

已知函數(shù)f（x）在R上是偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=

x2-kx+1

x2+1

，
（1）若當(dāng)x＞0時(shí)，求f（x）的表達(dá)式；
（2）若當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）的最小值為-1，求實(shí)數(shù)k的取值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，代入已知式子結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可得；（2）由（1）知，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=

x2+kx+1

x2+1

=1+

k

x+ 1 x

，分類討論結(jié)合基本不等式可得．

解答：解：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，
∴f(-x)=

x2+kx+1

x2+1

，
由偶函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）=f(-x)=

x2+kx+1

x2+1

，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，求f（x）的表達(dá)式為f（x）=

x2+kx+1

x2+1

；
（2）由（1）知，當(dāng)x＞0時(shí)，
f（x）=

x2+kx+1

x2+1

=1+

kx

x2+1

=1+

k

x+ 1 x

，
當(dāng)k＞0時(shí)，由基本不等式可得1+

k

x+ 1 x

≤1+

k

2

，f（x）有最大值，不合題意，
當(dāng)k=0時(shí)，1+

k

x+ 1 x

=1，f（x）沒有最小值，不合題意，
當(dāng)k＜0時(shí)，1+

k

x+ 1 x

≥1+

k

2

，令1+

k

2

=-1可得k=-4，
綜上可得：實(shí)數(shù)k的值為-4

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求解，涉及分類討論的思想和基本不等式，屬中檔題．