Question

【題目】已知函數(shù)．

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

(1)由題意知，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，則，

分類討論即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)由(1)得，，化簡(jiǎn)，令，則，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，進(jìn)而可求解實(shí)數(shù)的范圍。

(1)由題意知，函數(shù)的定義域是，

，令，則，

①當(dāng)時(shí)，，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，，方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，分別設(shè)為，不妨令，

則，，此時(shí)，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

，當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

(2)由(1)得在上單調(diào)遞減，，，

則 ，

令，則，，

令，則，

故在上單調(diào)遞減且，

故，即，

而，其中，

令，，所以在上恒成立，

故在上單調(diào)遞減，從而，

故的取值范圍是.