Question

11．已知雙曲線M：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的漸近線方程為$y=±\sqrt{2}x$，拋物線N的頂點為坐標原點，焦點在x軸上，點E（2，2）為雙曲線M與拋物線N的一個公共點．
（Ⅰ）求雙曲線M與拋物線N的方程；
（Ⅱ） 過拋物線N的焦點F作兩條相互垂直的直線l₁，l₂，與拋物線分別交于點A、B，C、D．
（�。┤糁本�EA與直線EB的傾斜角互補（點A，B不同于E點），求直線l₁的斜率；
（ⅱ）是否存在常數λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出雙曲線的漸近線方程可得$\frac{a}$=$\sqrt{2}$，代入（2，2），解方程可得a，b，進而得到雙曲線的方程；設拋物線的方程為y²=2px（p＞0），代入（2，2），解方程可得p，進而得到拋物線的方程；
（Ⅱ）（�。┰OA（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入拋物線的方程，運用作差法和直線的斜率公式，化簡整理，即可得到所求值；
（ⅱ）假設存在常數λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|．設直線直線l₁的方程為y=k（x-$\frac{1}{2}$），l₂的方程為y=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{1}{2}$）．聯立拋物線的方程，運用韋達定理和弦長公式，化簡整理即可判斷存在性．

解答 解：（Ⅰ）由雙曲線M：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
可得$\frac{a}$=$\sqrt{2}$，代入（2，2）可得$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{^{2}}$=1，
解得a=$\sqrt{2}$，b=2，
即有雙曲線M的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
設拋物線的方程為y²=2px（p＞0），
代入（2，2）可得4=4p，解得p=1，
即有拋物線N的方程為y²=2x；
（Ⅱ）（ⅰ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得$\frac{1}{2}$y₁²=x₁，$\frac{1}{2}$y₂²=x₂，
由直線EA與直線EB的傾斜角互補，可得
k_EA+k_EB=0，即有$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-2}$=0，
即有$\frac{2}{{y}_{1}+2}$+$\frac{2}{{y}_{2}+2}$=0，可得y₁+y₂=-4，
即有直線l₁的斜率為$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{1}{2}（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=$\frac{2}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$；
（ⅱ）假設存在常數λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|．
設直線直線l₁的方程為y=k（x-$\frac{1}{2}$），
l₂的方程為y=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{1}{2}$）．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{1}{2}）}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，可得k²x²-（k²+2）x+$\frac{1}{4}$k²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$，
由拋物線的定義可得|AB|=x₁+x₂+p═$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$+1=$\frac{2+2{k}^{2}}{{k}^{2}}$，
將k換為-$\frac{1}{k}$，可得|CD|=2k²+2，
即有λ=$\frac{|AB|+|CD|}{|AB|•|CD|}$=$\frac{1}{|AB|}$+$\frac{1}{|CD|}$=$\frac{{k}^{2}}{2{k}^{2}+2}$+$\frac{1}{2{k}^{2}+2}$=$\frac{1}{2}$．
故存在常數λ=$\frac{1}{2}$，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，主要考查拋物線的定義、方程和性質，注意運用待定系數法求方程，考查拋物線的方程的運用，聯立直線方程運用韋達定理，考查直線的斜率公式的運用，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．