Question

已知三棱柱A₁B₁C₁—ABC的底面邊長及側(cè)棱長均相等,AB⊥CB₁,且側(cè)面ABB₁A₁垂直于底面ABC.

(1)求證:平面ABC₁⊥平面CBB₁C₁;

(2)求側(cè)棱B₁B與底面ABC所成角的大小.

Answer 1

剖析:(1)利用面面垂直的判定定理,關(guān)鍵是在一個平面內(nèi)找另一個平面的垂線(這條直線是CB₁);(2)利用面面垂直的性質(zhì)定理,作出側(cè)棱B₁B與底面ABC所成的角.

(1)證明:∵BB₁C₁C是菱形,∴CB₁⊥C₁B.

    又∵AB⊥CB₁,AB∩C₁B=B,

    ∴CB₁⊥平面ABC₁.

    而CB₁平面CBB₁C₁,

    ∴平面ABC₁⊥平面CBB₁C₁.

(2)解:作B₁D⊥AB于D,連結(jié)CD.

    ∵側(cè)面ABB₁A₁⊥底面ABC,而平面ABB₁A₁∩平面ABC=AB,

    ∴B₁D⊥面ABC.

    ∴∠B₁BD就是側(cè)棱B₁B與底面ABC所成的角.

    又∵CB₁⊥AB,∴其射影CD⊥AB.

    而△ABC是正三角形,∴BD=AB=B₁B.

    ∴∠B₁BD=60°,即側(cè)棱B₁B與底面ABC所成的角為60°.