Question

已知a＞0且a≠1，P=log_a(1+a³)，Q=log_a(1+a²)，試比較P、Q的大小.

Answer 1

思路分析：設(shè)y=f(x)=log_ax，所以P=f(a³+1)，Q=f(a²+1).于是我們可以先比較真數(shù)a³+1、a²+1的大小，并利用函數(shù)y=f(x)=log_ax的單調(diào)性比較P、Q的大小.

解：a³+1-(a²+1)=a²(a-1).

（1）a＞1時(shí),a²(a-1)＞0,a³+1＞a²+1＞0,f(x)單調(diào)遞增，∴P＞Q.

（2）a=1時(shí),a³+1=a²+1,∴P=Q.

（3）0＜a＜1時(shí),a²(a-1)＜0,0＜a³+1＜a²+1,f(x)單調(diào)遞減，∴P＞Q.

綜上P≥Q（當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取等號）.

巧解提示

    這里比較P、Q的大小我們分成兩個(gè)層次進(jìn)行，先比真數(shù)，后比對數(shù).本題若直接求差P-Q=log_a，這樣去解較繁，也就是說，解題時(shí)不要那么呆板，對于復(fù)雜的問題，我們有時(shí)可以把它分解成幾個(gè)簡單的問題來解決.